Преобразование дробей в десятичные. Преобразование смешанной дроби в неправильную

Общий взгляд на преобразование дробей

Данный обобщенный материал известен из школьного курса математики. Тут рассматриваем дроби общего вида с числами, степенями, корнями, логарифмами, тригонометрическими функция ми или другими объектами. Будут рассмотрены основные преобразования дробей вне зависимости от их вида.

Что такое дробь?

Дробь – это выражение, которое записывается в виде A B или А / В , где A и B являются некоторыми произвольными числами.

Существует еще несколько определений.

Горизонтальная наклонная черта, которая разделяет A и B , называют чертой дроби или дробной чертой.

Выражение, которое находится над чертой дроби, называют числителем, а под – знаменателем.

От обыкновенных дробей к дробям общего вида

Знакомство с дробью происходит еще в 5 классе, когда проходят обыкновенные дроби. Из определения видно, что числителем и знаменателем являются натуральные числа.

К примеру 1 5 , 2 6 , 12 7 , 3 1 , которые можно записать как 1 / 5 , 2 / 6 , 12 / 7 , 3 / 1 .

После изучения действий с обыкновенными дробями имеем дело с дробями, которые имеют в знаменателе не одно натуральное число, а выражения с натуральными числами.

Например, 1 + 3 5 , 9 – 5 16 , 2 · 7 9 · 12 .

Когда имеем дело с дробями, где есть буквы или буквенные выражения, то записывается таким образом:

a + b c , a – b c , a · c b · d .

Зафиксируем правила сложения, вычитания, умножения обыкновенных дробей a c + b c = a + b c , a c – b c = a – b c , a b · v d = a · c b · d

Для вычисления зачастую необходимо приходить к переводу смешанных чисел в обыкновенные дроби. Когда целую часть обозначим как a , тогда дробная имеет вид b / c , получаем дробь вида a · c + b c , откуда понятно появления таких дробей 2 · 11 + 3 11 , 5 · 2 + 1 2 и так далее.

Черта дроби расценивается как знак деления. Поэтому запись можно преобразовать по-другому:

1 : a – ( 2 · b + 1 ) = 1 a – 2 · b + 1 , 5 – 1 , 7 · 3 : 2 · 3 – 4 : 2 = 5 – 1 , 7 · 3 2 · 3 – 4 : 2 , где частное 4 : 2 можно заменить на дробь, тогда получим выражение вида

5 – 1 , 7 · 3 2 · 3 – 4 2

Вычисления с рациональными дробями занимают особое место в математике, так как в числителе и знаменателе могут быть не просто числовые значения, а многочлены.

Например, 1 x 2 + 1 , x · y – 2 · y 2 0 , 5 – 2 · x + y 3 .

Рациональные выражения рассматриваются как дроби общего вида.

Например, x · x + 1 4 x 2 · x 2 – 1 2 · x 3 + 3 , 1 + x 2 · y · ( x – 2 ) 1 x + 3 · x 1 + 2 – x 4 · x 5 + 6 · x .

Изучение корней, степеней с рациональными показателями, логарифмов, тригонометрических функций говорит о том, что их применение появляется в заданных дробях вида:

a n b n , 2 · x + x 2 3 x 1 3 – 12 · x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln ( x – 3 ) ln e 5 , cos 2 α – sin 2 α 1 – 1 cos 2 α .

Дроби могут быть комбинированными, то есть иметь вид x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3 , lg x + 2 lg x 2 – 2 · x + 1 .

Виды преобразований дробей

Для ряда тождественных преобразований рассматривают несколько видов:

• преобразование, характерное для работы с числителем и знаменателем;
• изменение знака перед дробным выражением;
• приведение к общему знаменателю и сокращение дроби;
• представление дроби в виде суммы многочленов.

Преобразование выражений в числителе и знаменателе

При тождественно равных выражениях имеем, что полученная дробь является тождественно равной исходной.

Если дана дробь вида A / B , то A и B являются некоторыми выражениями. Тогда при замене получим дробь вида A 1 / B 1 _. Необходимо доказать справедливость равенства A / A 1 = B / B 1 при любом значении переменных, удовлетворяющих ОДЗ.

Имеем, что A и A 1 и B и B 1 тождественно равны, тогда их значения тоже равны. Отсюда следует, что при любом их значении A / B и A 1 / B 1 данные дроби будут равны.

Такое преобразование упрощает работу с дробями, если необходимо преобразовывать отдельно числитель и отдельно знаменатель.

Для примера возьмем дробь вида 2 / 18 , которую преобразуем к 2 2 · 3 · 3 . Для этого знаменатель раскладываем на простые множители. Дробь x 2 + x · y x 2 + 2 · x · y + y 2 = x · x + y ( x + y ) 2 имеет числитель вида x 2 + x · y , означает, что необходимо произвести замену на x · ( x + y ) , которое будет получено при вынесении за скобки общего множителя x . Знаменатель заданной дроби x 2 + 2 · x · y + y 2 свернуть по формуле сокращенного умножения. Тогда получим, что его тождественно равным выражением является ( x + y ) 2 .

Если дана дробь вида sin 2 3 · φ – π + cos 2 3 · φ – π φ · φ 5 6 ,тогда для упрощения необходимо числитель заменить 1 по формуле, а знаменатель привести к виду φ 11 12 . Тогда получим, что 1 φ 11 12 равна заданной дроби.

Изменение знака перед дробью, в ее числителе, знаменателе

Преобразования дробей – это также и замена знаков перед дробью. Рассмотрим некоторые правила:

• при изменении знака числителя получаем дробь, которая равна заданной, причем буквенно это выглядит как _ – A – B = A B , где А и В являются некоторыми выражениями;
• при изменении знака перед дробью и перед числителем, получаем, что – – A B = A B ;
• при замене знака перед дробью и его знаменателя, получаем, что – A – B = A B .

Знак минуса в большинстве случаев рассматривается как коэффициент со знаком – 1 , а дробная черта является делением. Отсюда получаем, что – A – B = – 1 · A : – 1 · B . Сгруппировав множители, имеем, что

– 1 · A : – 1 · B = ( ( – 1 ) : ( – 1 ) · A : B = = 1 · A : B = A : B = A B

После доказательства первого утверждения, обосновываем оставшиеся. Получим:

– – A B = ( – 1 ) · ( ( ( – 1 ) · A ) : B ) = ( – 1 · – 1 ) · A : B = = 1 · ( A : B ) = A : B = A B – A – B = ( – 1 ) · ( A : – 1 · B ) = ( ( – 1 ) : ( – 1 ) ) · ( A : B ) = = 1 · ( A : B ) = A : B = A B

Когда необходимо выполнить преобразование дроби 3 / 7 к виду – 3 – 7 , – – 3 7 , – 3 – 7 , тогда аналогично выполняется с дробью вида – 1 + x – x 2 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x .

Преобразования выполняются следующим образом:

1 ) – 1 + x – x 2 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = – ( – 1 + x – x 2 ) – 2 2 3 – ln x 2 + 3 x + sin 2 x · 3 x = = 1 – x + x 2 – 2 2 3 + ln ( x 2 + 3 ) x – s i n 2 x · 3 x 2 ) – 1 + x – x 2 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = – – ( – 1 + x – x 2 ) 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = – 1 – x + x 2 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x 3 ) – 1 + x – x 2 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = – – 1 + x – x 2 – 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = – – 1 + x – x 2 – 2 2 3 + ln ( x 2 + 3 ) x – sin 2 x · 3 x

Приведение дроби к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей, мы коснулись основного свойства дробей, которое позволяет умножать, делить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Это видно из равенства a · m b · m = a b и a : m b : m = a b , где a , b , m являются натуральными числами.

Это равенство действительно для любых значений a , b , m и всех a , кроме b ≠ 0 и m ≠ 0 . То есть мы получаем, что если числитель дроби А / В с A и C , которые являются некоторыми выражениями, умножить или разделить на выражение M , не равное 0 , тогда получим дробь, тождественно равную начальной. Получаем, что A · M B · M = A B и A : M B : M = A B .

Отсюда видно, что преобразования основываются на 2 преобразованиях: приведении к общему знаменателю, сокращении.

При приведении к общему знаменателю производится умножение на одно и то же число или выражение числитель и знаменатель. То есть мы переходим к решению тождественной равной преобразованной дроби.

Если взять дробь x + 1 0 , 5 · x 3 и умножить на 2 , тогда получим, что новый знаменатель получится 2 · 0 , 5 · x 3 = x 3 , а выражение примет вид 2 · x + 1 x 3 .

Для приведения дроби 1 – x 2 · x 2 3 · 1 + ln x к другому знаменателю вида 6 · x · 1 + ln x 3 нужно, чтобы числитель и знаменатель быль умножен на 3 · x 1 3 · ( 1 + ln x ) 2 . В итоге получаем дробь 3 · x 1 3 · 1 + ln x 2 · 1 – x 6 · x · ( 1 + ln x ) 3

Такое преобразование как избавление от иррациональности в знаменателе также применимо. Оно избавляет от наличия корня в знаменателе, что упрощает процесс решения.

Сокращение дробей

Основное свойство – это преобразование, то есть ее непосредственное сокращение. При сокращении мы получаем упрощенную дробь. Рассмотрим на примере:

Или дробь вида x 3 · x 3 · x 2 · ( 2 x 2 + 1 + 3 ) x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 · 3 + 1 3 · x , где сокращение производится при помощи x 3 , x 3 , 2 x 2 + 1 + 3 или на выражение вида x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 . Тогда получим дробь x 2 3 + 1 3 · x

Сокращение дроби является простым, когда общие множители сразу явно видны. Практически это встречается не часто, поэтому предварительно необходимо проводить некоторые преобразования выражений такого вида. Бывают случаи, когда необходимо находить общий множитель.

Если имеется дробь вида x 2 2 3 · ( 1 – cos 2 x ) 2 · sin x 2 · cos x 2 2 · x 1 3 , тогда необходимо применять тригонометрические формулы и свойства степеней для того, чтобы можно было преобразовать дробь к виду x 1 3 · x 2 1 3 · sin 2 x sin 2 x · x 1 3 . Это даст возможность сократить ее на x 1 3 · sin 2 x .

Представление дроби в виде суммы

Когда числитель имеет алгебраическую сумму выражений типа A 1 , A 2 , … , A n , а знаменатель обозначается B , тогда эта дробь может быть представлена как A 1 / B , A 2 / B , … , A n / B .

Для этого зафиксируем это A 1 + A 2 + . . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B .

Данное преобразование в корне отличается от сложения дробей с одинаковыми показателями. Рассмотрим пример.

Дана дробь вида sin x – 3 · x + 1 + 1 x 2 , которую мы представим как алгебраическая сумма дробей. Для этого представим как sin x x 2 – 3 · x + 1 x 2 + 1 x 2 или sin x – 3 · x + 1 x 2 + 1 x 2 или sin x x 2 + – 3 · x + 1 + 1 x 2 .

Любая дробь, имеющая вид А / В представляется в виде суммы дробей любым способом. Выражение A в числителе может быть уменьшено или увеличено на любое число или выражение А 0 , которое даст возможность прейти к A + A 0 B – A 0 B .

Разложение дроби на простейшие является частным случаем для преобразования дроби в сумму. Чаще всего его применяют при сложных вычислениях для интегрирования.

Как преобразовать смешанную в неправильную дробь

Дробь — это рациональное число, которое представляет собой одну или несколько частей единицы. Наряду с натуральными числами дроби широко используются в бытовых расчетах и реальной жизни.

История возникновения

Нужда в дробных числах возникла у людей еще до начала цивилизации. Разделение мяса и шкур убитых животных между участниками охоты иногда приводило к серьезным проблемам, если количество добычи не совпадало с количеством охотников или не было кратным ему. Проблемы с разделением ресурсов привели первобытного человека к понятию дробного числа.

С зарождением цивилизации людям потребовалось вычислять все больше и больше параметров при строительстве жилья и организации сельского хозяйства. Необходимость измерять длины, объемы и площади, которые далеко не всегда можно выразить целым числом, привела к активному использованию дробей в жизни древних людей. Впервые дроби начали использоваться в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, причем египтяне применяли дроби исключительно с единицей в числителе. Позднее знание о дробях распространилось по всему миру и появилось на Руси только в VIII веке.

Проблема измерений всегда остро стояла перед человечеством. Если для счета предметов хватает однозначных натуральных чисел, то для измерения параметров их недостаточно. Небольшие ошибки в инженерных расчетах, оперирующих натуральными числами, нередко приводили к разрушению возведенных конструкций. Именно тогда в зодчестве начали активно использовать десятичные дроби для более точного выражения величин. Однако проблема точности вычислений до сих пор актуальна, так как точность можно повышать до бесконечности.

Определение термина

Дробь — это число, состоящее из нескольких долей единицы. Записываются такие числа в виде обыкновенной или десятичной дроби. Обыкновенная дробь имеет общий вид m/n, где n ≠ 0. Рациональные числа имеют две формы записи: через горизонтальную черту, которая называется «винкулум» или через наклонную — «солидус». В нашей статье мы будем использовать солидус для удобства записи.

Если m n, то такая дробь носит название неправильной (к примеру, 3/2, 8/3 или 54/21). Любое целое число легко записать в форме дроби, и в общем виде это выглядит как m/1. Если же величина записывается в виде комбинации целого числа и правильной дроби, то она носит названия смешанного дробного числа. Такие числа можно преобразовывать из одного вида в другой.

Перевод дробей из одного типа в другой

При решении примеров по арифметике иногда возникает потребность преобразовать неправильную дробь в смешанную или наоборот. Это легко сделать, если использовать следующие алгоритмы. Для преобразования «смешанная — неправильная» нужно:

• целую часть смешанного числа умножить на знаменатель дроби, после чего сложить результат с числителем;
• знаменатель оставить без изменения.

Преобразуем смешанную дробь 4 и 2/3 в неправильную. Умножим целое 4 на знаменатель 3 и результат 12 добавим к числителю. В итоге получаем 14. Знаменатель оставляем без изменений и записываем неправильную дробь 14/3.

Для трансформации «неправильная — смешанная» используется следующий алгоритм:

• числитель делим на знаменатель и полученное число принимаем за целую часть смешанной дроби;
• остаток от деления записываем в числитель обыкновенной дроби, а знаменатель оставляем тем же.

На примере это выглядит так. Для дроби 22/7 разделим 22 на 7, получим 3 и 1 в остатке. После это занесем остаток в числитель правильной дроби и запишем 3 и 1/7.

Если для решения заданий по арифметике требуется перевести целое число в дробь, то в знаменатель просто пишут единицу, а затем приводят дроби к общему знаменателю.

Небольшие дроби легко вручную переводить из одного вида в другой. Однако если требуется выразить в виде неправильной дроби выражение вида 135 и 784/623, то проще воспользоваться нашим онлайн-калькулятором. Инструмент мгновенно переводит смешанные дроби в неправильные и наоборот. Для этого в меню программы следует выбрать направление преобразования и ввести нужное число. Достаточно одного клика мышкой для получения мгновенного результата. Например, при помощи калькулятора легко подсчитать, что 135 и 784/623 тождественно равно неправильной дроби 84889/623.

Заключение

Дробные числа — неотъемлемая часть жизни. Люди пользуются дробями даже в таких простых ситуациях, как разрезание пиццы или подбор пропорций для приготовления коктейля. Умение преобразовывать числа из одной формы в другую несомненно пригодится даже в простых бытовых расчетах, не говоря уже о школьных задачах и профессиональных вычислениях.

Тренировочные задания на тему “Преобразование неправильной дроби в смешанное число. Преобразование целого и смешанного числа в неправильную дробь.”(5 класс)

Курс повышения квалификации за 340 рублей!

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Преобразуйте целое число в неправильную дробь с указанным знаменателем.

Помним , что дробная черта обозначает действие деления.

Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть этого числа умножить на знаменатель дробной части, прибавить числитель. Записать полученное число в числитель. Знаменатель оставить прежним.

Методическая разработка преподавателя математики Глуховой О.В. г.-к. Анапа, 2018 г.

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

Представлены листы тренировочных заданий для закрепления умения и выработки навыков:

представления целого числа в виде неправильной дроби;

выделения целой части и представления неправильной дроби в виде смешанного или целого числа;

преставление смешанного числа в виде неправильной дроби. Листы могут быть использованы в классной работе, а так же служить домашним заданием с целью экспресс -тренировки.

• Глухова Ольга Викторовна
• Написать
• 1658
• 31.01.2018

Номер материала: ДБ-1107507

Международные дистанционные олимпиады «Эрудит III»

Доступно для всех учеников
1-11 классов и дошкольников

Рекордно низкий оргвзнос

по разным предметам школьной программы (отдельные задания для дошкольников)

Идёт приём заявок

• 31.01.2018
• 143

• 31.01.2018
• 388

• 31.01.2018
• 4473

• 31.01.2018
• 380

• 31.01.2018
• 1013

• 31.01.2018
• 164

• 31.01.2018
• 1262

• 31.01.2018
• 596

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/obschij-vzgljad-na-preobrazovanie-drobej/
http://bbf.ru/calculators/184/
http://infourok.ru/trenirovochnie-zadaniya-na-temu-preobrazovanie-nepravilnoy-drobi-v-smeshannoe-chislo-preobrazovanie-celogo-i-smeshannogo-chisla–2529324.html