Формула герона объяснение.

Эта формула позволяет вычислить площадь S треугольника по его сторонам a, b и с:

где р – полупериметр треугольника, т.е. р = (а + b + c)/2. Формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми. Например, это треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53.

Вывод формулы Герона для площади треугольника

Одним из способов позволяющим вывести формулу Герона является использование свойств вписанной в треугольник окружности. Это свойство позволяет вычислить радиус вписанной в треугольник окружности через длины сторон треугольника и полупериметр треугольника.

Предположим у нас есть произвольный треугольник с вершинами А,В и С сторонами длины которых равны а, b и с.

Впишем в этот треугольник окружность.

Из центра этой окружности опустим перпендикуляры к каждой из сторон треугольника и обозначим длину каждого из перпендикуляров буквой r.

Теперь из каждой вершины треугольника проведем к центру окружности три отрезка.

В результате мы видим, что наш треугольник АВС состоит из трех малых треугольников: АОС, АОВ, ВОС

Следовательно, площадь треугольника АВС мы можем вычислить суммированием площадей малых треугольников, т.е.

Далее, площадь треугольника можно найти, также используя формулу S = а*h/2 (2), где а – длина основания треугольника; h – высота треугольника (в нашем случае она равно r).

Теперь запишем формулу (1) выразив площади малых треугольников через формулу (2), т.е.

Давайте упрости формулу (3) вынеся высоту треугольника r и знаменатель каждого из слагаемых за скобки. В итоге мы получим следующую формулу

Часть выражения справа, а именно (а + b + c)/2 есть не что иное, как периметр треугольника, деленный пополам или говоря просто полупериметр треугольника. Обозначим полупериметр треугольника малой буквой р.

Читать еще: Теория по физкультуре олимпиада.

В результате формулу (4) мы можем записать в виде

Как уже говорилось выше, радиус вписанной в треугольник окружности можно выразить через длины сторон треугольника и его полупериметр. Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности будет выглядеть следующим образом:

Теперь давайте запишем формулу (5) выразив радиус через длины сторон треугольника и его полупериметр,

И после того как перед коренное значение мы заведем под корень, мы получим окончательную формулу

Как мы видим формула (8) есть не что иное, как хорошо известная с античных времен формула Герона.

Формула Герона для площади четырехугольников

Существуют аналоги формулы Герона для четырехугольников. В связи с тем что задача на построение четырехугольника по его сторонам а, b, с и d имеет не единственное решение, для вычисления в общем случае площади четырехугольника недостаточно только знания длин сторон. Приходится вводить дополнительные параметры или накладывать ограничения. Например, площадь вписанного четырехугольника находится по формуле:

Если же четырехугольник и вписанный, и описанный одновременно, его площадь находится по более простой формуле:

Формула Герона для площади треугольника

Треугольник – это фигура, которая образуется после соединения трех точек, не лежащих на одной прямой отрезками. Точки называются вершинами, а отрезки сторонами. Для расчета треугольника существует множество формул, которые помогают найти как длины сторон, радиусы углов и прочие составляющие фигуры, так и площадь треугольника.

Самой распространенной формулой для расчета площади треугольника по трем сторонам является формула Герона . Если известны длины всех сторон, то можно вычислить площадь фигуры, применив формулу Герона для площади треугольника.

где a , b , c – длины сторон, а p – полупериметр.
Полупериметр – это сумма длин всех сторон поделенная на два.

Читать еще: Мировой рекорд по моргания. Самые необычные рекорды из «Книги рекордов Гиннеса» (52 фото)

Три окружности с радиусами 6, 7, 8 внешне попарно касаются друг друга. Найти площадь треугольника, образованного центрами этих окружностей. Посмотреть решение

училась в школе шесть десятков лет назад, геометрию забыла, но в связи с тем, что мебель из ДСП смешно ставить в сантехническую кабину (недолговечна), а из дерева и красивая пока недоступна. На сайтах гостиниц Бахрейна очень понравилась, примерно в похожем стиле хочу сделать сама угловой шкаф в ванную, но чтобы закупить материалы, надо начертить детали и посчитать объем и без геометрии здесь не обойтись. Поэтому я благодарна Вам за теорему Пифагора, за древнеиндийских математиков, за тригонометрические формулы и за калькуляторы расчетов. С искренним уважением Нина Ивановна!

#мыэтонепроходили
Что это за точка на гипотенузе С, которая делит ее на два отрезка С1 и С2 ? Причем произведение С1 на С2 численно равно площади треугольника.

Вбиваем стороны 2,3,5 и вуаля:

Ответ: Площадь треугольника = 0.000

Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. 5>2+3?!

Это не треугольник, это 3 точки на одной прямой

Стороны: 3,4,7 и оппа!
Ответ: Площадь треугольника = 0.000

Потому что у треугольника со сторонами 3, 4 и 7 площадь таки будет 0. 3+4=7. Треугольник вырождается в отрезок.

Нет, по теории, любой треугольник можно назвать таковым, если сумма двух сторон его больше или равна оставшейся стороны.

Например:
стороны 10 25 30, следует что это треугольник так как
(10+25)>30
(10+30)>25
(30+25)>10

Пытался воспользоваться Вашим калькулятором…бесполезно. говорит : такого треугольника нет ……а именно : 3.354 +3.54+12.40.
Может кто-то поможет ?

Ответ: сумма любых 2-х сторон треугольника > 3-й стороны. А у Вас получается 3,…+3,…

Господа, неравенство треугольника ещё никто не отменял. Поэтому, прежде чем вычислять площадь треугольника, проверяют его существование, используя неравенство треугольника.

Читать еще: Можно ли христианину заниматься йогой. Как относится православным к йоге